圆周率公式（有哪些计算圆周率的神奇公式？）

一说起圆周率π，很多人就想到祖冲之老爷子的割圆术。

说实话，祖大人也挺无奈的，从我们小学就开始割圆，一直割到大学还在割。

但割圆术只适合手算，如何用电脑算π呢？

泰勒展开

泰勒展开在科学计算中简直有着匪夷所思的变态威力。

之前我有一篇文章泰勒为何要展开？ 泰勒公式有什么神奇作用？介绍了什么是泰勒展开，它可以把复杂函数转换成加减乘除，比如sinx：

之所以要展开，是因为通用计算机本质上只能计算加减乘除。

用泰勒展开计算π

首先想到的思路就是，反三角函数，根据定义有：

那么，接下来的问题就是，

如何计算arctan(1)

有人说，直接调用C语言库函数atan(double,double)不就行了。

确实，这可以完成计算，然而，这是一种令人不齿的开挂行为，就好像我问怎么跑完马拉松，你说你开车一溜烟就跑完了一样。

库函数是别人写好的，我们现在是思索如何实现计算，而不是考虑如何调用。

至此，我们只好请出祖传配方，把arctan(x)进行泰勒展开：

然后，令x = 1，得到：

格雷戈里-莱布尼茨公式

它被称为莱布尼茨级数，也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数，用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。

看起来很吊是不是······

但是啊但是，还不够吊，因为问题还没完：

这个级数收敛极慢。

比如，算到+4/9，也就是前五项，结果仅为3.3396，误差有0.2之多。

它要到算500000项之后，才会精确到小数点后五位：

就算电脑也算得太累了。

何况莱布尼兹（1646年7月1日－1716年11月14日）当年是没有电脑的！

加快收敛

于是，人们尝试改进，希望能快点计算。

英国数学家梅钦在1706年用上面的级数，发掘了一个可以快速收敛的公式：

配合上面arctan(x)泰勒展开，梅钦依据此公式（没有电脑），把圆周率计算到小数点后一百多位。

英国数学家威廉·谢克斯花15年的时间以此计算到小数点后707位，不过在第528位时出错，因此后面的都不正确了。

微微杯具就是了。

神奇公式

现代有了电脑，我们希望更快的收敛速度，因此科学家在寻找新的级数。

历史总是留给吊人的，也总是会生产一些吊人的。

比如：

拉马努金公式

这玩意被称为拉马努金公式，是印度科学家拉马努金发明的。

第一位用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀，他在1985年计算了小数点后一千七百万位。

收敛再快一点？还有楚德诺夫斯基公式：

楚德诺夫斯基公式

楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（10⁹）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×10¹²）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（10¹³）位。

意不意外，惊不惊喜，

无不无聊······